Задача о так называемом «золотом сечении» стара, хорошо известна… и, в отличие от многих знаменитых геометрических задач древности, вполне разрешима. У неё есть разные формулировки, самая простая такова:
Дан отрезок. Требуется разделить его на две неравные части, чтобы длина большей относилась к длине меньшей так же, как длина всего отрезка относится к длине его большей части.
Наряду с двумя известнейшими «циркульно-неразрешимыми» задачами — квадратура круга и удвоение куба — несколько менее известна задача о спрямлении дуги:
Дана дуга окружности. Построить циркулем и линейкой отрезок, имеющий такую же длину.
Её неразрешимость сегодня легко обосновать: длина окружности (а равно и её дуги) связана с трансцендентным числом «пи», которое невозможно построить одними только классическими инструментами. Однако существует метод, позволяющий провести такое спрямление с любой желаемой степенью точности.
Среди геометрических построений, о которых не рассказывают в школе, есть и такое, как нахождение целых степеней. Включая и отрицательные. Правда, у него есть и ограничение: основанием степени должно быть число, строго большее единицы. Этот способ упоминается во флорентийских трактатах XV века по строительству и когда-то широко использовался при разработке декоративных элементов.
Задача о построении правильных многоугольников очень стара, и в её рамках особое место занимает построение пятиугольника. Уже хотя бы потому, что он первый из всех таких фигур, который строится нетривиально. (Действительно, правильный — т.е. равносторонний — треугольник строится всего двумя засечками циркуля, а построение правильного четырёхугольника — квадрата — сводится всего лишь к двум перпендикулярным прямым.)
Греки решили этот вопрос: пятиугольнику посвящены предложения 10 и 11 четвёртой книги “Начал” Эвклида. В Средние века задача обрела новую актуальность, ибо пятиугольник являлся основой пентаграммы — важнейшего мистического символа. Ну, а в советские времена не менее важным символом считалась пятиконечная звезда, которая также строится на основе пятиугольника.
Рассмотрим три геометрических рецепта из разных времён.
Однажды Пьер Фермá (1601—1665) предложил двум современным ему математикам интересную задачу о прямоугольном треугольнике: его гипотенуза должна была являться точным квадратом (что неудивительно), и сумма катетов (внимание: катетов, а не их квадратов!) тоже — с другим, конечно, основанием. Длины всех сторон должны были выражаться натуральными числами. Этими математиками были Бернар Френикль де Бесси (1605—1675) и практически совсем забытый к настоящему времени Сен-Мертен…
Как известно, через точку, лежащую вне прямой, можно провести прямую, параллельную данной. Вопрос о том, сколько именно их можно провести — это вопрос выбора конкретной геометрии. У Эвклида на плоскости такая прямая единственна…
Речь не о том. Речь о том, как школьники и студенты воспринимают задачу построения такой прямой классическим способом — циркулем и линейкой. Бóльшая часть сначала построит через указанную точку перпендикуляр к данной прямой (этому построению в школе вроде бы учат!), а затем перпендикуляр к только что построенному перпендикуляру через ту же точку.
Это работает, но очень нерационально. Между тем существует гораздо более простой и изящный способ провести параллель к данной прямой через данную точку, и доказательство его правильности является отличной геометрической задачей.
Бесконечные множества обладают рядом совершенно мозголомных свойств, которые вытекают из совершенно очевидных, казалось бы, представлений. Ярчайшим примером является аксиома выбора, но и без неё неожиданностей более чем много.
На один из таких парадоксов обратил внимание ещё Г.Галилей (1564 — 1642), описавший его в своей книге “Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки” (1638). По обычаям того времени, трактат этот написан в форме диалога, один из собеседников которого (Сальвиати) представляет самогó автора.
Особенность любой формальной науки, и математики в том числе, заключается в том, что теория развивается из набора аксиом, принимаемых без доказательства. Аксиомы должны формулироваться в терминах, неизбежно принимаемых за очевидные — и, следовательно, не подлежащих определению.
В основании же математики лежит понятие множества. Которое авторы абсолютного большинства учебников всё же пытаются определять, как это ни парадоксально. (Хотя, в конце концов, Эвклид тоже открыл первую книгу “Начал” загадочными словами “Точка есть то, что не имеет частей. Линия же — длина без ширины…” не столько определяя понятия, сколько называя их для ученика.)
Греческий поэт Эпименид жил в VII в. до н.э. на острове Крит. Предание гласит, что как-то он за один день был несколько раз обманут на рынке, после чего в сердцах воскликнул: “Все критяне лжецы!”
Это высказывание вошло в логику как “парадокс Эпименида” или “парадокс лжеца”. Истинно оно или ложно? Эпименид сказал, что все критяне лжецы, но он сам критянин, так что тоже должен являться лжецом. Но именно это он и говорит, следовательно, лжецом не является. Но если его высказывание правдиво, то он лжец и не мог сказать правду…
Простой вроде бы вопрос: что получится, если минус единицу возвести в степень две трети? Иными словами —
Вопрос этот далеко не так прост, как может показаться на первый взгляд.
Помимо суммы квадратов, принцип гномона позволил древнегреческим математикам вывести и формулу для суммы кубов. Правда, с нашей нынешней точки зрения эти рассуждения на вывод формулы не тянут — речь фактически идёт лишь об эмпирическом приёме, позволившем увидеть закономерность, — но знать их интересно и полезно.
Из всех натуральных степеней лишь две имеют свои собственные названия, не сводящиеся к называнию цифр. Так, вторую степень числа мы называем квадратом, а третью — кубом. И это отнюдь не особенность русского языка: в других языках (по крайней мере, европейских) дело обстоит так же.
Понятно, откуда берутся эти названия. Вторая степень числа выражает площадь квадрата, сторона которого равна этому числу. Аналогично, третья степень даёт объём куба. Отсюда нетрудно догадаться, что названия эти восходят к древним грекам, у которых вся математика была “геометрической”.
Ещё одним применением греческого “принципа гномона” является вывод формулы для суммы квадратов натуральных чисел. Построение, которое сейчас будет изложено, принадлежит Архимеду (287-212 до н.э.). Разумеется, ему это было несколько сложнее из-за отсутствия алгебраической символики — но логика та самая.
“Гномон” по-гречески означает “указатель”. Так назывался вертикальный шест, по тени которого определяли высоту солнца. Вместе со своей тенью такой шест образовывал подобие буквы “L”, но в греческом алфавите такой не было, а была заглавная “гамма”, выглядящая точь-в-точь как русская “Г”. С неё, кстати, слово и начиналось — “Γνώμων”…
А ещё эта Г-образная фигура вдохновляла греческих математиков на весьма остроумные способы вывода формул.
Ещё древние египтяне знали арифметическую прогрессию и правило её суммирования — задача № 64 папируса Ахмеса (середина XVII в. до н.э.) предлагала разделить десять мер зерна между десятью людьми так, чтобы каждый последующий получал на ⅛ меры больше предыдущего.
Суммирование арифметической прогрессии знали и греки, перенявшие все математические знания египтян. Но их не устраивал догматический характер египетской математики, и они всему искали обоснование. Их взгляд на это суммирование носил весьма любопытный характер.
“Городской цирюльник бреет тех и только тех жителей города, которые не бреются сами. Должен ли он брить сам себя?”
Этот логический парадокс, известный под названием “цирюльник Рассела” (по имени автора, Бертрана Рассела), стараниями скверных учителей и малограмотных “философов” превратился в какой-то жупел. Между тем, сам автор показал, как разрешается эта кажущаяся парадоксальность.
