Параллельная прямая через заданную точку

Как известно, через точку, лежащую вне прямой, можно провести прямую, параллельную данной. Вопрос о том, сколько именно их можно провести — это вопрос выбора конкретной геометрии. У Эвклида на плоскости такая прямая единственна…

Речь не о том. Речь о том, как школьники и студенты воспринимают задачу построения такой прямой классическим способом — циркулем и линейкой. Бóльшая часть сначала построит через указанную точку перпендикуляр к данной прямой (этому построению в школе вроде бы учат!), а затем перпендикуляр к только что построенному перпендикуляру через ту же точку.

Это работает, но очень нерационально. Между тем существует гораздо более простой и изящный способ провести параллель к данной прямой через данную точку, и доказательство его правильности является отличной геометрической задачей.

Итак, пусть дана точка А и прямая ВС, не проходящая через эту точку. (Точки В и С можно выбрать на прямой произвольно.) Требуется построить прямую AD, параллельную ВС.

Это делается следующим образом.

1. Провести окружность радиусом АВ с центром в точке С.
2. Провести окружность радиусом ВС с центром в точке А.
3. Окружности пересекутся в двух точках, одна из которых — точка D — лежит по ту же сторону от прямой, что и точка А.

Прямая, соединяющая точки А и D, параллельна исходной прямой ВС.