Натуральные степени

Из всех натуральных степеней лишь две имеют свои собственные названия, не сводящиеся к называнию цифр. Так, вторую степень числа мы называем квадратом, а третью — кубом. И это отнюдь не особенность русского языка: в других языках (по крайней мере, европейских) дело обстоит так же.

Понятно, откуда берутся эти названия. Вторая степень числа выражает площадь квадрата, сторона которого равна этому числу. Аналогично, третья степень даёт объём куба. Отсюда нетрудно догадаться, что названия эти восходят к древним грекам, у которых вся математика была “геометрической”.

Гномон: сумма квадратов

Ещё одним применением греческого “принципа гномона” является вывод формулы для суммы квадратов натуральных чисел. Построение, которое сейчас будет изложено, принадлежит Архимеду (287-212 до н.э.). Разумеется, ему это было несколько сложнее из-за отсутствия алгебраической символики — но логика та самая.

Гномон

“Гномон” по-гречески означает “указатель”. Так назывался вертикальный шест, по тени которого определяли высоту солнца. Вместе со своей тенью такой шест образовывал подобие буквы “L”, но в греческом алфавите такой не было, а была заглавная “гамма”, выглядящая точь-в-точь как русская “Г”. С неё, кстати, слово и начиналось — “Γνώμων”…

А ещё эта Г-образная фигура вдохновляла греческих математиков на весьма остроумные способы вывода формул.

Арифметическая прогрессия

Ещё древние египтяне знали арифметическую прогрессию и правило её суммирования — задача № 64 папируса Ахмеса (середина XVII в. до н.э.) предлагала разделить десять мер зерна между десятью людьми так, чтобы каждый последующий получал на ⅛ меры больше предыдущего.

Суммирование арифметической прогрессии знали и греки, перенявшие все математические знания египтян. Но их не устраивал догматический характер египетской математики, и они всему искали обоснование. Их взгляд на это суммирование носил весьма любопытный характер.

Цирюльник Рассела таки бреет себя!

“Городской цирюльник бреет тех и только тех жителей города, которые не бреются сами. Должен ли он брить сам себя?”

Этот логический парадокс, известный под названием “цирюльник Рассела” (по имени автора, Бертрана Рассела), стараниями скверных учителей и малограмотных “философов” превратился в какой-то жупел. Между тем, сам автор показал, как разрешается эта кажущаяся парадоксальность.