15 января 2012 г.

Гномон: сумма квадратов

Ещё одним применением греческого “принципа гномона” является вывод формулы для суммы квадратов натуральных чисел. Построение, которое сейчас будет изложено, принадлежит Архимеду (287-212 до н.э.). Разумеется, ему это было несколько сложнее из-за отсутствия алгебраической символики — но логика та самая.

Заполним квадратную таблицу по следующему принципу: все строки в ней будут одинаковыми, а в каждой строке слева направо записаны последовательно возрастающие натуральные числа:

Сумма чисел по одной строке образует арифметическую прогрессию, и может быть легко найдена:

Соответственно, сумму чисел по всей таблице можно найти, умножив это число на количество строк. Она равна

 

С другой стороны, эта сумма может быть найдена суммированием не по строкам, а по гномонам. Складывая числа в k-ом гномоне (см. рисунок), получаем

Первая квадратная скобка — это снова арифметическая прогрессия. Вторая квадратная скобка содержит ровно k слагаемых и упрощается очевидным образом. Итого, k-ый гномон содержит внутри себя

Суммируя это по k от 1 до n и приравнивая к общей сумме, получаем

Второе слагаемое слева опять образует сумму геометрической прогрессии (ту же самую, что и сумма чисел по строке). Отсюда уже легко выразить сумму квадратов:

Интересна греческая интерпретация этой формулы. Тогдашние математики воспринимали её не так, как мы; в наших современных обозначениях это восприятие можно выразить следующим образом:

Каждое слагаемое слева интерпретируется как объём квадратной плиты с единичной высотой и последовательно возрастающей длиной стороны. Вместе эти плиты образуют ступенчатую пирамиду. А справа стоит объём эквивалентного прямоугольного параллелепипеда:

Существовал и другой “вывод” формулы, через разрезание пирамиды на фрагменты и складывание их в тот самый параллелепипед. Но этот подход гораздо более замысловат.

2 комментария:

  1. Анонимный20.01.2012, 23:05

    Любопытно! Интересно также, что сумма кубов может быть проинтерпретирована в двумерном смысле: http://janka-x.livejournal.com/100402.html

    ОтветитьУдалить
  2. Да, и она тоже выводится через гномон. Тоже будет.

    ОтветитьУдалить