11 июня 2012 г.

Пятиугольник, пентаграмма, звезда…

Задача о построении правильных многоугольников очень стара, и в её рамках особое место занимает построение пятиугольника. Уже хотя бы потому, что он первый из всех таких фигур, который строится нетривиально. (Действительно, правильный — т.е. равносторонний — треугольник строится всего двумя засечками циркуля, а построение правильного четырёхугольника — квадрата — сводится всего лишь к двум перпендикулярным прямым.)

Греки решили этот вопрос: пятиугольнику посвящены предложения 10 и 11 четвёртой книги “Начал” Эвклида. В Средние века задача обрела новую актуальность, ибо пятиугольник являлся основой пентаграммы — важнейшего мистического символа. Ну, а в советские времена не менее важным символом считалась пятиконечная звезда, которая также строится на основе пятиугольника.

Рассмотрим три геометрических рецепта из разных времён.

1 июня 2012 г.

Задача Ферма о прямоугольном треугольнике

Однажды Пьер Фермá (1601—1665) предложил двум современным ему математикам интересную задачу о прямоугольном треугольнике: его гипотенуза должна была являться точным квадратом (что неудивительно), и сумма катетов (внимание: катетов, а не их квадратов!) тоже — с другим, конечно, основанием. Длины всех сторон должны были выражаться натуральными числами. Этими математиками были Бернар Френикль де Бесси (1605—1675) и практически совсем забытый к настоящему времени Сен-Мертен…