16 декабря 2012 г.

Золотое сечение

Задача о так называемом «золотом сечении» стара, хорошо известна… и, в отличие от многих знаменитых геометрических задач древности, вполне разрешима. У неё есть разные формулировки, самая простая такова:

Дан отрезок. Требуется разделить его на две неравные части, чтобы длина большей относилась к длине меньшей так же, как длина всего отрезка относится к длине его большей части.

Построение достаточно легко осуществляется циркулем и линейкой:

  1. Построить прямой угол с вершиной А. На одной его стороне отложить точку В, так что АВ есть делимый отрезок нужной длины. На другой стороне отложить точку С, так что АС есть длина в два раза меньше. Соединить точки В и С, образовав прямоугольный треугольник с соотношением катетов 2:1.
  2. На отрезке ВС построить точку D, так что CD=AC (т.е. отложить меньший катет на гипотенузе).
  3. На отрезке АВ построить точку Е, так что ВЕ=BD (т.е., отложить остаток гипотенузы на большем катете).

Точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотого сечения.

Интересно, что диагонали правильного пятиугольника делят друг друга также в соотношении золотого сечения:

Отсюда следует альтернативный (более трудоёмкий) способ: построить такой пятиугольник и провести в нём две диагонали.

Комментариев нет:

Отправить комментарий