25 мая 2014 г.

Метод ложных положений

Обучение алгебре в школе обычно начинается с решения уравнений первой степени (т.е. линейных). Вполне логично: это древнейшее математическое знание, которым человечество владело ещё четыре тысячи лет назад. Но тогда это делалось совсем иначе, нежели сейчас!

9 мая 2014 г.

12 признаков хорошего преподавателя математики

Хороший преподаватель математики…
  • Никогда, никому и ни при каких условиях не говорит, что он знает свой предмет досконально. Он, собственно, вообще не вправе об этом судить — вправе только его ученики.
  • Не забивает себе голову памятью о том, что требуется редко. Но если оно требуется, то способен вывести это „с нуля“. И аналогично относится к ученикам.
  • Не стесняется говорить, что он чего-то не знает. Хотя говорить такое ему приходится довольно редко.
  • Способен провести любое занятие без всякой предварительной подготовки и подручных материалов — в том числе без книжек и задачников. Хотя лекции так обычно не читает, ибо это всё-таки нерациональное использование драгоценного времени.
  • Не пользуется проектором на занятиях. Ибо любая презентация есть застывшая мысль, математике категорически противопоказанная. Исключениями могут быть обзорные лекции и спецкурсы для старшекурсников, магистрантов и аспирантов, которые уже научились (или почти научились) мыслить сами и которым нужно передать большой объём знаний за сравнительно небольшое время.
  • Никогда не даёт ученикам алгоритмических рецептов решения каких бы то ни было задач. Ибо учит не решать задачи, а думать.
  • Не обязательно хорошо рисует, но уж любую нужную фигуру или поверхность с любым нужным сечением способен внятно нарисовать в любой нужной проекции за приемлемое время, не ограничиваясь маханием рук в воздухе.
  • Презрительно плюёт на утверждённые программы и методики. Ибо ему, и только ему виднее всех, как научить думать этих конкретных людей.
  • Снисходителен к посредственным ученикам и никогда не пудрит им мозги высокими материями, пусть даже этого требует утверждённая программа. Научить их думать можно и на не особенно сложных вещах.
  • Абсолютно беспощаден к ошибкам в решениях и доказательствах учеников, но при этом никогда не замедлит назвать чужое решение более удачным, чем своё, если это действительно так. У хорошего преподавателя это случается регулярно.
  • Знает свободно английский язык и как минимум ещё один язык, кроме своего родного. Ибо хороший преподаватель немыслим без опыта знакомства с творчеством коллег, представляющих другие культуры.
  • Регулярно слышит от учеников вопросы на темы, не связанные с математикой. (Если не слышит — значит, ему не удаётся заинтересовать учеников.) И всегда по мере своих знаний старается ответить на них, не считаясь со временем. 

12 апреля 2014 г.

Задачи «с лишним рублём»

В математическом фольклоре многих народов есть интересный тип задач, в которых таинственным образом появляется или исчезает некоторая сумма денег. Делается это за счёт уплаты вперёд и последующего возврата части суммы, причём на возврате совершается некоторое жульничество.

Мне известны три такие старинные задачи — из них последняя является самой простой и, по-видимому, самой молодой (около века).

9 апреля 2014 г.

Множества счётные и несчётные

Фундаментальным понятием в математике является счётное множество. Понятие это не так уж и сложно само по себе, но знакомство с ним обычно вызывает сложности у вчерашних школьников.

Существует, однако, вполне корректное, но гораздо более популярное определение счётности, легко доступное для понимания. Вот как оно выглядит.
Множество называется счётным, если его можно представить в виде Книги, составленной по следующим правилам:
  • На каждой странице Книги указан ровно один элемент множества.
  • Каждый элемент множества указан ровно на одной странице Книги.
  • Все страницы Книги обычным образом пронумерованы последовательно увеличивающимися натуральными числами, начиная с единицы.
  • Каким бы не было натуральное число, в Книге есть страница с соответствующим номером.
Достаточно очевидно, что само множество натуральных чисел является счётным. Действительно, в Книге Натуральных Чисел на n-ой странице достаточно указать число n.

Множество чётных натуральных чисел также счётно. В Книге Чётных Натуральных Чисел каждая страница с номером n должна содержать число 2n.

Множество нечётных натуральных чисел счётно: в его Книге на каждой n-ой странице нужно указать число 2n-1.

Множество натуральных чисел, являющихся точными квадратами, тоже счётно. В его Книге всякая страница с номером n должна нести на себе число . Этот факт заметил ещё Галилей.

Существуют, однако, и несчётные множества. Так, например, несчётно множество Х всех подмножеств натуральных чисел. Докажем это.



Предположим от противного, что Х счётно и его можно представить в виде Книги Натуральных Подмножеств (КНП).

Разделим все натуральные числа на две категории: „чёрные“ и „серые“. Будем называть натуральное число n чёрным, если оно является элементом множества, указанного на n-ой странице КНП и серым в противном случае. Пусть M — множество всех серых, и только серых натуральных чисел. Очевидно, M есть подмножество натуральных чисел, так что оно является элементом Х.

Множество M должно быть указано на одной из страниц КНП; пусть эта страница имеет номер m. Может ли m быть серым числом? Нет, поскольку на m-ой странице указано множество всех серых чисел M, и m должно входить в него, что по определению делает m чёрным числом. Но если m является чёрным, то из его присутствия на данной странице следует, что множество M содержит по меньшей мере одно чёрное число, что противоречит построению.

Итак, множество серых чисел M не может быть указано ни на одной странице КНП, а следовательно, Х несчётно.

15 марта 2014 г.

Платон, Сократ и логика

Разные ответы Платона

Платон всегда говорил правду и только правду, никогда не отступая от этого правила. Но однажды некто два раза подряд задал ему один и тот же вопрос, и Платон ответил ему по-разному: первый раз «нет», а второй раз «да». Что это был за вопрос?


Абсолютная ложь Сократа

Однажды некто спросил Сократа: что есть абсолютная ложь? Сократ усмехнулся, произнёс короткое утверждение и поинтересовался у спросившего, истинно ли оно. Тот определил, что утверждение ложно.

Тогда Сократ произнёс точное отрицание этого утверждения и снова поинтересовался, истинно ли оно. Спросивший вынужден был признать, что это отрицание ложного утверждения также ложно.

Какое утверждение высказал Сократ?


Одинаковые ответы Платона и Сократа

В присутствии Платона Сократ из вредности говорил ложь и только ложь, также неотступно следуя этому правилу. Но однажды некто встретил обоих мудрецов, прогуливавшихся вместе, задал им вопрос и получил на него от обоих одинаковые ответы. Что это был за вопрос?


Ученики Платона и Сократа

Некий прохожий шёл по своим делам и увидел группу людей, сидевших крýгом на земле и что-то оживлённо обсуждавших. Отдельные реплики звучали столь странно, что он не поверил своим ушам и воскликнул:

— В своём ли вы уме?!

Ответом ему была разноголосица «да!» и «нет!». Прохожему показалось, что он услышал чересчур много «да», и он усомнился:

— Да правду ли вы говорите?

На этот раз все хором сказали «да!»

— Что, и за правдивость соседа справа каждый из вас готов поручиться? — продолжал сомневаться прохожий.

Ответом было дружное «нет!»

Тут мимо проходил ещё какой-то человек, который пояснил:

— Это ученики Платона и Сократа собрались на диспут. Они во всём следуют правилам своих учителей насчёт правды и лжи. Сами-то давно привыкли к этому, а вот для посторонних их речи и впрямь странны.

— Так сами Платон и Сократ тоже здесь?! — заинтересовался прохожий.

— Ну да. Вон там, в сторонке, сидят двое и внимательно слушают. Видишь? Это они и есть.

Прохожий направился к мудрецам, но… тут же понял, что не знает, кто из них кто. Он приветствовал их обоих и начал разговор с нейтрального вопроса:

— Сколько же у вас учеников, уважаемые?

— Сорок пять на двоих, — ответил один. — Не больше и не меньше.

— Мой друг преувеличивает, — улыбнулся другой. — У нас с ним по двадцать учеников, так что всего получается лишь сорок.

Кто из мудрецов был Платоном, кто Сократом, и сколько у них было учеников?