28 апреля 2012 г.

Параллельная прямая через заданную точку

Как известно, через точку, лежащую вне прямой, можно провести прямую, параллельную данной. Вопрос о том, сколько именно их можно провести — это вопрос выбора конкретной геометрии. У Эвклида на плоскости такая прямая единственна…

Речь не о том. Речь о том, как школьники и студенты воспринимают задачу построения такой прямой классическим способом — циркулем и линейкой. Бóльшая часть сначала построит через указанную точку перпендикуляр к данной прямой (этому построению в школе вроде бы учат!), а затем перпендикуляр к только что построенному перпендикуляру через ту же точку.

Это работает, но очень нерационально. Между тем существует гораздо более простой и изящный способ провести параллель к данной прямой через данную точку, и доказательство его правильности является отличной геометрической задачей.

3 апреля 2012 г.

Бесконечность: от Галилея до…

Бесконечные множества обладают рядом совершенно мозголомных свойств, которые вытекают из совершенно очевидных, казалось бы, представлений. Ярчайшим примером является аксиома выбора, но и без неё неожиданностей более чем много.

На один из таких парадоксов обратил внимание ещё Г.Галилей (1564 — 1642), описавший его в своей книге “Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки” (1638). По обычаям того времени, трактат этот написан в форме диалога, один из собеседников которого (Сальвиати) представляет самогó автора.