Эпименид лгал!

Греческий поэт Эпименид жил в VII в. до н.э. на острове Крит. Предание гласит, что как-то он за один день был несколько раз обманут на рынке, после чего в сердцах воскликнул: “Все критяне лжецы!”

Это высказывание вошло в логику как “парадокс Эпименида” или “парадокс лжеца”. Истинно оно или ложно? Эпименид сказал, что все критяне лжецы, но он сам критянин, так что тоже должен являться лжецом. Но именно это он и говорит, следовательно, лжецом не является. Но если его высказывание правдиво, то он лжец и не мог сказать правду…

Самое интересное, что в своём исходном виде заявление Эпименида никаких противоречий не содержит. Очень долгое время его считали парадоксом исключительно из-за того, что путали два совершенно разных понятия (а многие продолжают путать и до сих пор!)

В действительности два утверждения

• “все жители острова Крит, в том числе и я, именующий себя Эпименидом, являются лжецами”
• “я, именующий себя Эпименидом и проживающий на острове Крит среди прочих критян, являюсь лжецом”

означают абсолютно разные вещи.

Пусть кто-то — хоть один! — из соседей Эпименида по острову не является лжецом. В этом случае утверждение “все критяне лжецы” оказывается неправдой. Сам поэт солгал (и возможно, он не единственный лжец на острове), но есть и правдивые критяне. Никаких противоречий не возникает.

На языке современной математической логики это рассуждение записывается так:

(честь изобретения этого языка — так называемых кванторов — принадлежит немецкому математику Готтлобу Фреге).

Проблема возникает, если допустить, что Эпименид является единственным жителем острова. Тогда, действительно, получается, что он прямо объявил лжецом самогó себя, с вытекающим отсюда замкнутым кругом противоречий, упомянутым в начале. Это так называемый расширенный (или усиленный) парадокс лжеца: некто заявляет “я лжец!” — лжец ли он?

Впрочем, и тогда противоречия может не быть — смотря что понимать под словом “лжец”.

Общепринятое толкование подразумевает, что термин “лжец” является антиподом термина “правдивый человек”. Но “правдивый человек” — это тот, кто всегда, при любых обстоятельствах, говорит только правду и ничего кроме правды. Стало быть, “лжец” — это тот, кто не всегда говорит правду. Тогда всё в порядке: Эпименид лжец, и он иногда врёт, но данным своим высказыванием как раз не солгал.

Чтобы избежать возможных недоразумений в подобных вопросах, американский математик и логик Рэймонд Смаллиан вводит три “категории правдивости и лживости”:

1. Человек всегда говорит правду и только правду (истинно правдивый человек);
2. Человек в разных обстоятельствах может говорить как правду, так и ложь (лжец в житейском смысле слова);
3. Человек всегда говорит ложь и ничего кроме лжи (абсолютный лжец).

Как видно, в смысле второй категории лживости парадокса нет. Он возникает лишь в смысле третьей категории, требующей чтобы все высказывания лжеца были ложью.

В этом случае, однако, на помощь приходит теория типов Рассела. Согласно ей, высказывание “я — [абсолютный] лжец” должно расшифровываться следующим образом:

Настоящим я высказываю утверждение А, и утверждение А является ложным. 

Поскольку часть утверждения А содержит высказывание о нём самóм, эта часть должна иметь бóльший приоритет по сравнению с остальной частью (по Расселу — “иметь более высокий тип”). Если приоритетная часть истинна, то всё высказывание ложно, а если она ложна, то всё высказывание истинно. Ни в одном из этих двух вариантов противоречия не возникает.

Итак, Эпименид всё-таки был лжецом. Причём если допустить, что он жил на Крите один, то лжецом совершенно изощрённым — ведь тогда получается, что поэт исхитрился соврать, даже признавая себя вруном!