8 января 2012 г.

Арифметическая прогрессия

Ещё древние египтяне знали арифметическую прогрессию и правило её суммирования — задача № 64 папируса Ахмеса (середина XVII в. до н.э.) предлагала разделить десять мер зерна между десятью людьми так, чтобы каждый последующий получал на ⅛ меры больше предыдущего.

Суммирование арифметической прогрессии знали и греки, перенявшие все математические знания египтян. Но их не устраивал догматический характер египетской математики, и они всему искали обоснование. Их взгляд на это суммирование носил весьма любопытный характер.

Каждый член прогрессии греки представляли площадью прямоугольника соответствующей ширины и единичной высоты. При соединении всех прямоугольников получалась этакая ступенчатая фигура, как на рисунке слева:

Её общая площадь — это и есть сумма прогрессии, которую можно представить эквивалентным прямоугольником той же высоты. Ширина его, стало быть, оказывается равной средней ширине всех прямоугольников.

Так эту ширину и искали, в виде среднего арифметического ширин самого маленького (первого) и самого большого (последнего) прямоугольников. Фактически это вполне современная формула:

Проблематичным было разве что обоснование важного вспомогательного факта: средняя ширина всех прямоугольников совпадает со средней шириной двух крайних. Вряд ли это возможно сделать со всей строгостью без алгебраической нотации, которой в античные времена не было… однако на помощь опять-таки приходило геометрическое представление. Получить из левой фигуры правую можно простым отрезанием куска справа и приставлением его вверх:

Но многих древнегреческих математиков такое объяснение не устраивало, и формула считалась не математической, а ремесленной. В знаменитых “Началах” Эвклида арифметическая прогрессия вообще не упоминается…

Комментариев нет:

Отправить комментарий