11 июня 2012 г.

Пятиугольник, пентаграмма, звезда…

Задача о построении правильных многоугольников очень стара, и в её рамках особое место занимает построение пятиугольника. Уже хотя бы потому, что он первый из всех таких фигур, который строится нетривиально. (Действительно, правильный — т.е. равносторонний — треугольник строится всего двумя засечками циркуля, а построение правильного четырёхугольника — квадрата — сводится всего лишь к двум перпендикулярным прямым.)

Греки решили этот вопрос: пятиугольнику посвящены предложения 10 и 11 четвёртой книги “Начал” Эвклида. В Средние века задача обрела новую актуальность, ибо пятиугольник являлся основой пентаграммы — важнейшего мистического символа. Ну, а в советские времена не менее важным символом считалась пятиконечная звезда, которая также строится на основе пятиугольника.

Рассмотрим три геометрических рецепта из разных времён.

Правильный пятиугольник Эвклида

Если выкладки из “Начал” (не факт, конечно, что именно Эвклид был их автором) изложить не в виде теорем, а в виде алгоритма, то получится следующее:

  1. Построить окружность с центром в точке О. Произвольно отметить на ней точку А. Провести через точки О и А диаметр.
  2. Провести второй диаметр перпендикулярно ОА. Точку его пересечения с окружностью (любую из двух) обозначить В.
  3. Разделить отрезок ОВ пополам точкой С.
  4. Провести окружность с центром в точке С через точку А. Точку её пересечения с прямой ОВ, лежащую внутри исходной окружности, обозначить D.
  5. Провести окружность с центром в точке А и радиусом AD. Точки её пересечения с исходной окружностью обозначить Е и F.

    Дуги AE=AF будут составлять пятую часть исходной окружности.

Этот способ довольно прост и даёт правильный пятиугольник. Как видно, основой построения в нём является вписывание в окружность.

Моноциркульный пятиугольник Дюрера

Относительно следующего построения долгое время считалось, что его нашёл великий художник и очень неплохой математик Альбрехт Дюрер: именно в его книге “Vnderweysung der messung mit dem zirckel vnd richtscheyt” (“Наставление в измерении циркулем и линейкой”, 1525) встречалось самое раннее известное упоминание. Сам Дюрер, впрочем, авторства себе не приписывал, а в конце XIX века был обнаружен анонимный трактат примерно 1484 года, ныне упоминаемый как “Geometria deutsch”. Он содержит описание того же построения, которое, таким образом, является более старым, нежели предполагалось. Возможно, его открытие принадлежит арабам, которые любили задачи с постоянным раствором циркуля.

Следующее описание приводится непосредственно по “geometria deutsch”.

Если кто хочет нарисовать пятиугольник с циркулем неизменного раствора, то раскрой циркуль настолько широко, сколько ты желаешь, и наметь [этим раствором] две точки А, В.

Затем оставь одно острие циркуля в точке А и проведи круг; точно так же оставь циркуль в точке В и проведи круг, и там, где один круг заходит за другой, наметь две точки С, D. Затем наложи линейку на точки С и D и проведи длинную черту через обе точки, так что получится такой чертёж:

Затем помести острие циркуля в точку D и проведи круг через А, В, и там, где этот круг проходит через черту CD, наметь E. Затем посмотри, где этот самый круг заходит за круг DBH [см. примечание!] и наметь там F, точно так же на другой стороне наметь G. После этого наложи линейку на точку F и на Е и проведи черту через эти точки до круга DACG и наметь там точку К. Таким же образом на другой стороне наметь Н. После этого помести циркуль в точку К и проведи круг, и где он заходит за линию DEC, наметь I. Затем проведи черту от I до К, от К до В, от В до А, от А до Н, от Н до I. Тогда ты получишь правильный пятиугольник, образец которого здесь приложен.

“Пятиугольник Дюрера” (“Fünfort”) является равносторонним, но в действительности не является правильным. Вместо 108° его углы составляют 107°2’13’’ (при вершинах А,В), 108°22’ (при вершинах Н,К) и 109°11’33’’ (при вершине I). Этот факт был установлен венецианским математиком Дж.Бенедетти в 1580 и позднее подтверждён Хр.Клавием в 1604 расчётом по другой методике.

ПРИМЕЧАНИЕ. В тексте упоминается точка Н до того, как она построена. Это, впрочем, является простым недоразумением, так как по описанию вполне понятно, что речь идёт о левой из двух начально построенных окружностей. Очевидно, автор сначала подготовил полный чертёж и затем уже по нему составлял описание.

Советская пятиугольная звезда

В книгах и журналах эпохи СССР было опубликовано много геометрических рецептов построения звезды; часто встречалось уже описанное построение Эвклида. Были и оригинальные методы — так, например, следующий алгоритм интересен тем, что изначально ориентирован на построение именно звезды (не пятиугольника) и, в отличие от эвклидовского, не требует предварительного проведения окружности, в которую впоследствии вписывается фигура.

  1. Построить отрезок АВ и разделить его на восемь равных частей. (Это можно сделать, например, трёхкратным делением пополам, или просто восемь раз отложить промежуточную величину.) Этот отрезок впоследствии будет диагональю звезды.
  2. Отметить на отрезке точки Е и G такие, что АЕ=GB и составляет 3/8 длины отрезка.
  3. Провести окружности <A,AG> и <B,EB>. Точки их пересечения обозначить К и J.
  4. Ломаная AEKGB образует часть контура звезды.
  5. Провести окружности <A,> и <B,АB>.
  6. Найти точки пересечения окружностей
         L = <B,AB>×<A,AG> и
         M = <A,AB>×<B,EB>,
    ближайшие к точке J.
  7. Ломаная LJM образует часть контура звезды.
  8. Достроить контур звезды, пользуясь линиями LB, AM, KL, KM.

Звезда, построенная по этой методике, очень близка к правильной, но всё же не является ей. При внимательном рассмотрении увеличенного чертежа можно увидеть, что точка J не лежит на линиях LB и AM, точка Е не лежит на линии KL, а точка G не лежит на линии КМ.

Комментариев нет:

Отправить комментарий