11 января 2012 г.

Гномон

“Гномон” по-гречески означает “указатель”. Так назывался вертикальный шест, по тени которого определяли высоту солнца. Вместе со своей тенью такой шест образовывал подобие буквы “L”, но в греческом алфавите такой не было, а была заглавная “гамма”, выглядящая точь-в-точь как русская “Г”. С неё, кстати, слово и начиналось — “Γνώμων”…

А ещё эта Г-образная фигура вдохновляла греческих математиков на весьма остроумные способы вывода формул.

Вот, например, возьмём квадратную таблицу и заполним её единицами, как на следующем рисунке слева:

С одной стороны, очевидно, что сумма чисел по всей таблице равна квадрату её размерности. С другой стороны, можно разбить таблицу на гномоноподобные фрагменты (рис. справа) и суммировать числа по ним. Каждый такой фрагмент содержит нечётное число единиц: 1,3,5,7,9,…

Отсюда получается формула, которая в нынешних алгебраических обозначениях записывается так:

Конечно, это частный случай арифметической прогрессии, но зато выведенный вполне строго, без геометрических вольностей.

А вот ещё пример. Возьмём ту же самую квадратную таблицу из единиц и дополним её одним гномоном до размерности, на единицу больше исходной:

Как видно, отсюда вытекает формула

и сегодня весьма полезная для устного счёта.

Комментариев нет:

Отправить комментарий