13 декабря 2012 г.

Спрямление дуги циркулем и линейкой

Наряду с двумя известнейшими «циркульно-неразрешимыми» задачами — квадратура круга и удвоение куба — несколько менее известна задача о спрямлении дуги:

Дана дуга окружности. Построить циркулем и линейкой отрезок, имеющий такую же длину.

Её неразрешимость сегодня легко обосновать: длина окружности (а равно и её дуги) связана с трансцендентным числом «пи», которое невозможно построить одними только классическими инструментами. Однако существует метод, позволяющий провести такое спрямление с любой желаемой степенью точности.

Пусть имеется дуга окружности АВ. Построение заключается в следующем:

  1. Построить отрезки ОА и ОВ, соединяющие концы дуги с центром окружности О. Построить хорду АВ.
  2. Построить Z — перпендикуляр к радиусу ОА.
  3. Построить перпендикуляр к хорде АВ и биссектрису угла BAZ. Точку их пересечения обозначить D.
  4. Построить перпендикуляр к отрезку AD и биссектрису угла DAZ. Точку их пересечения обозначить Е.
  5. Построить перпендикуляр к отрезку АЕ и биссектрису угла EAZ. Точку их пересечения обозначить F.

Этот процесс повторяется столько раз, сколько нужно, или пока позволяет точность инструментов/чертежа. Точка пересечения Z с последним построенным перпендикуляром отстоит от А на расстояние, совпадающее (в пределах точности) с длиной дуги АВ. На рисунке эти длины выделены зелёным цветом.

Этот способ (без обоснования) впервые встречается в итальянских трактатах по математике первой половины XVI века. С современных позиций обосновать его нетрудно, он сводится к геометрическому эквиваленту предела

А в качестве упражнения можно предложить поразмышлять на следующую тему: если бы точное спрямление дуги циркулем и линейкой было возможно, то возможным оказалось бы и решение задачи о квадратуре круга. Как именно?

Комментариев нет:

Отправить комментарий