8 февраля 2012 г.

Гномон: сумма кубов

Помимо суммы квадратов, принцип гномона позволил древнегреческим математикам вывести и формулу для суммы кубов. Правда, с нашей нынешней точки зрения эти рассуждения на вывод формулы не тянут — речь фактически идёт лишь об эмпирическом приёме, позволившем увидеть закономерность, — но знать их интересно и полезно.

На этот раз мы заполним квадратную таблицу так, что в каждой её ячейке будет стоять число, равное произведению номеров строки и столбца:

Собственно, это не что иное, как таблица умножения: под названием “таблица Пифагора” оно нередко печатается на обратной стороне обложки тонких школьных тетрадей.

Будем брать квадратные фрагменты таблицы от её верхнего левого угла. Суммируя числа в каждом таком квадрате, можно заметить, что каждый раз получается число, само являющееся точным квадратом, причём по вполне определённому закону:

и так далее.

Рассмотрим теперь суммы чисел по гномонам. Теперь каждая из таких сумм является точным кубом:

Приравнивая сумму чисел по квадрату к сумме чисел по образующим его гномонам, получаем отсюда формулу

 

Интересно, что справа под квадратом стоит сумма арифметической прогрессии. Но грекам и в голову не приходило применять её здесь, записывая что-то вроде нашего

ведь в таком виде правая часть содержала четвёртые степени и “теряла смысл”!

Тогдашние математики образно представляли себе эту формулу в виде примерно следующей картинки

Левая часть есть собой суммарный объём кубов с последовательно возрастающей длиной ребра, тогда как правая часть — это объём квадратной плиты единичной толщины, чья сторона равна сумме длин рёбер всех этих кубов.

Найти формулу суммы четвёртых степеней греческая математика не могла по всё той же причине — отсутствие геометрического смысла. Это удалось лишь в начале XV века арабскому математику и астроному Джамшиду ибн-Масуду Гияс эд-Дину аль-Кáши (1380-1429). В наши же дни это — для любых натуральных степеней — под силу любому математику, знакомому с основами теории разностных уравнений…

Комментариев нет:

Отправить комментарий