26 апреля 2013 г.

Деление отрезка циркулем и линейкой

К числу классических задач на построение, не входящих в школьный курс геометрии, принадлежит задача о произвольном делении отрезка. Школьников учат лишь дихотомии, т.е. делению отрезка пополам (этот же способ даёт возможность строить перпендикуляр к прямой) — и, как следствие, на $2^n$ равных частей (путём последовательного применения дихотомии).

Между тем, существует простой и изящный общий способ, который стоит рассмотреть.

8 апреля 2013 г.

Среднее арифметическое и среднее геометрическое

С тех пор, как в 1821 году маэстро Коши доказал так называемое неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим, оно кочует по всем более-менее продвинутым задачникам. Суть его очень проста: для любых положительных чисел $x_1,x_2,\ldots,x_n$ имеет место соотношение

$$\sqrt{\vphantom{b} x_1\cdot x_2\cdots x_n}\leqslant\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}n,$$

причём равенство возможно тогда и только тогда, когда все эти числа совпадают между собой.

Простейшим случаем, конечно, является $n=2$. Но даже и этот случай весьма любопытен — как изящным алгебраическим доказательством, так и чисто геометрической интерпретацией.