Натуральные степени

Из всех натуральных степеней лишь две имеют свои собственные названия, не сводящиеся к называнию цифр. Так, вторую степень числа мы называем квадратом, а третью — кубом. И это отнюдь не особенность русского языка: в других языках (по крайней мере, европейских) дело обстоит так же.

Понятно, откуда берутся эти названия. Вторая степень числа выражает площадь квадрата, сторона которого равна этому числу. Аналогично, третья степень даёт объём куба. Отсюда нетрудно догадаться, что названия эти восходят к древним грекам, у которых вся математика была “геометрической”.

Отсутствие названий для других степеней также следует понимать буквально: греческие математики классического периода попросту не признавали степеней выше третьей! Эти выражения не имели в их глазах геометрического смысла — а следовательно, и права на существование.

Можно сказать, что понятие числа для них не было достаточно абстрактным: нужно было всегда неявно подразумевать или количественную природу, или физическую размерность. Например, та же третья степень

могла бы обозначать две разные вещи — либо объём куба с ребром 2, либо удвоенную площадь квадрата с такой же стороной. Выражение

ещё могло иметь смысл как удвоенный объём куба с тем же ребром, но идея записи четырёхкратного умножения на себя единым показателем степени показалась бы для тогдашнего учёного какой-то ересью.

Лишь на сáмом закате античности — в III в. н.э. — Диофант Александрийский абстрагировался в понимании формул до того, что ввёл в рассмотрение степени выше третьей, придумав для них специальные обозначения. Вот как он говорил о высоких степенях в своём главном трактате “Арифметика”:

Все числа, как ты знаешь, состоят из некоторого количества единиц; ясно, что они продолжаются, увеличиваясь до бесконечности. Так вот среди них находятся:

• квадраты, получающиеся от умножения некоторого числа самого на себя; это же число называется стороной квадрата;
• затем кубы, получающиеся от умножения квадратов на их сторону;
• далее квадрато-квадраты от умножения квадратов самих на себя;
• далее квадрато-кубы, получающиеся от умножения квадрата на куб его стороны;
• далее кубо-кубы от умножения кубов самих на себя.

Из них при помощи сложения, вычитания, умножения или нахождения отношения между собой или каждого с собственной стороной, составляются многочисленные задачи.

Далее Диофант ни о каких геометрических соображениях не рассуждал, а решал задачи абстрактно на уровне формул. Для которых, кстати, придумал собственные обозначения, предвосхитившие алгебраическую нотацию. Вот пример записи уравнения из его книги:

Для европейской науки “Арифметика” оказалась забытой более чем на тысячу лет: лишь в начале XVII века её обнаружили среди старых манускриптов и перевели на латинский язык! Именно она послужила одним из главных источников вдохновения для знаменитых работ Пьера Фермá…

Зато труды Диофанта были прекрасно знакомы арабам, сохранившим и приумножившим его наследие. Они активно пользовались высокими степенями, сознавая их абстрактный (относительно геометрических соображений) характер, но не придавая этому особого значения.

Вот как в конце XI века описывал этот принцип Омар Хайям (“Трактат о доказательстве задач алгебры”):

Алгебраические решения производятся при помощи уравнения, т.е., как это хорошо известно, приравнивания одних степеней другим. Если алгебраист пользуется квадрато-квадратом в вопросах измерения, то это следует понимать метафорически, а не в прямом смысле, так как нелепо, чтобы квадрато-квадрат принадлежал к числу величин. К величинам относится прежде всего одно измерение, т.е. корень или сторона по отношению к своему квадрату. Затем два измерения, т.е. плоская фигура; квадрат также относится к величинам, так как является плоской фигурой. И, наконец, три измерения, т.е. тело; куб также относится к величинам, так как он является телом, ограниченным шестью квадратами. Так как других измерений нет, к величинам не могут относиться ни квадрато-квадрат, ни, тем более, высшие степени.

Арабы, собственно, и создали прообраз современной алгебры. Тот же Хайям в том же трактате подробнейшим образом исследовал кубические уравнения и их связь с коническими сечениями, а вершиной арабской математики можно считать формулу для суммы четвёртых степеней, которую в начале XV века вывел Джамшид ибн-Масуд Гияс эд-Дин аль-Кáши:

Никакой внятной геометрической интерпретации у неё, конечно, быть не может.

В новейшее время с абстрагированием величин пришлось столкнуться Бернарду Больцано (начало XIX века). Обосновывая идею о том, что бесконечно большие величины можно сравнивать между собой (его современникам это казалось в высшей мере странным), он призывал вспомнить прошлое:

Я напомню, что нет ничего непонятного в том, что существуют выражения величин, не обозначающие никакой действительной величины; так, мы все считаем и должны считать нуль таким выражением.

Это цитата из знаменитой работы Больцано “Парадоксы бесконечного”. В ней ещё хватало мистики и нелепостей, но именно она послужила фундаментом для трудов Кантора и Дедекинда, построивших современную теорию множеств…