В сентябре многие студенты пришли учиться на первый курс, и очень многим из них придётся столкнуться с теми или иными математическими дисциплинами. Традиционно возникает много нытья о непонимании математики.
Проблема эта старая и очень хорошо известная. Лучше всех о ней написал Анри Пуанкаре (1854-1912).
Маленьким шедевром китайской математики является приближение π ≈ 355/113, найденное в V в. н.э. астрономом Цзу Чунчжи. Мало того, что даже и сегодня его точности более чем достаточно для любых инженерных расчётов, так это приближение ещё и очень легко запоминается. Достаточно записать первые три нечётных числа, повторив каждое: 113355, затем разделить эту группу пополам: 113\355, затем первую половину отнести в знаменатель, а вторую в числитель.
А ещё это приближение очень легко строится геометрически циркулем и линейкой, причём доказательство правильности построения является отличной задачей для школьников.
В математике множество является неопределяемым понятием (о чём ещё будет как-нибудь позже). При этом во многих курсах — особенно рассчитанных на общетехнические специальности и гуманитариев — можно встретить оптимистические утверждения вида “хотя мы не можем определить понятие множества, мы можем, опираясь на интуицию, с лёгкостью определять любое конкретное множество его описанием…”
Подобные взгляды характерны для так называемой наивной теории множеств второй половины XIX века. В 1906 году французский математик Жюль Ришáр (1862 — 1956) предложил парадокс, показывающий, что не всё так просто. В исходном виде его формулировка требует достаточно близкого знакомства с теорией, поэтому рассмотрим немного упрощённую — так называемую формулировку Ришара-Берри.
Известно, что разные курсы и разные преподаватели по-разному трактуют множество натуральных чисел. Где-то утверждается, что оно начинается с единицы, где-то его отсчитывают с нуля.
На то и другое есть свои резоны. В преподавании классического анализа удобнее считать с единицы (тогда во многих ситуациях без всяких оговорок оказывается невозможным деление на ноль), алгебраистам же удобнее с нулём — тогда натуральные числа образуют полугруппу как относительно сложения, так и относительно умножения (правда, единичными элементами для этих операций будут выступать разные числа).
На сáмом деле вопрос о вхождении или невхождении нуля в натуральные числа совершенно непринципиален: легко показывается, что два соответствующих множества эквивалентны между собой. Гораздо интереснее другое: чрезвычайно долго натуральным числом (и числом вообще!) не считалась единица!
На рубеже XIX и XX веков в математике случился кризис, связанный с накоплением сверх критической массы интуитивных понятий и необоснованных аналогий. Преодоление этого кризиса связывали с аксиоматизацией науки, начиная с самых низов. А в сáмом низу находилась как раз построенная к тому моменту канторовская теория множеств. Правда, очень быстро выяснилось, что и тут не обходится без двусмысленностей, и одним из главнейших камней преткновения стала так называемая аксиома выбора.
Это очень интересная проблема. Понять её способен даже школьник средних классов, а вынести мозги она способна кому угодно.
В трактатах Омара Хайяма нашёлся ещё один интересный способ решения уравнения типа “квадрат и число сопоставлены корням”. Интересен он тем, что из него геометрически сразу же видна часть теоремы Виета. Стоит рассмотреть!
Заканчиваем тему. Осталось рассмотреть один, самый сложный тип — в отличие от всех предыдущих случаев, здесь возможны ситуации, когда имеется два положительных вещественных решения или их нет вовсе. По-прежнему требуется геометрическое извлечение квадратного корня (см. ранее описанный тип уравнения “квадрат сопоставлен числу”).
Продолжаем тему, начатую ранее. В этой части будут рассмотрены более сложные типы уравнений “квадрат сопоставлен корням и числу” и “квадрат и корни сопоставлены числу”. В обоих случаях уравнение имеет единственное положительное решение. Оба случая требуют геометрического построения квадратного корня (см. ранее описанный тип уравнения “квадрат сопоставлен числу”).
Древнегреческая математика была геометрической, и знаменитое “…при помощи циркуля и линейки” много раз слышал каждый. Такие построения позволяют сделать довольно многое: циркулем и линейкой можно выполнять четыре арифметические действия, а также извлекать квадратный корень. Это означает, что геометрическими построениями можно решать квадратные уравнения.
Действительно, греки это умели. Правда, они не знали отрицательных решений, так как числа представляются при этом длинами отрезков. Но найти в современной литературе греческие способы почему-то практически нереально — между тем, они являются прекрасными задачами на доказательство, великолепно подходящими для занятий со школьниками. Попробуем восполнить этот пробел.
Деньги, как известно, выполняют функцию всеобщего эквивалента. А ещё они счёт любят. А на территории бывшего СССР функцию всеобщего эквивалента выполняла ещё и водка (которая во многих ситуациях ценилась даже выше денег). И счёт она тоже любила. Во всяком случае, любители математики знают два красивых водочных соотношения.
Раньше в школах, наряду со сложением-вычитанием и умножением-делением, учили выполнять “в столбик” извлечение корня (так называемый “ньютоновский способ”, он описан в трактате “Всеобщая арифметика”). Потом перестали, оставив сие действие на откуп сначала таблицам Брадиса и логарифмическим линейкам, а потом калькуляторам.
А ведь уметь извлекать корни без вычислительных средств — умение нелишнее! Допустим, ньютоновский способ довольно трудоёмок… но вот есть простые и неплохие способы Герона, которым скоро исполнится две тысячи лет.
Известно, что современная математика выросла главным образом из древнегреческой геометрии. Греки же явно заимствовали множество знаний у египтян, впоследствии приумножив их и развив в строгую стройную систему. А про то, откуда взялась математика у египтян, очень интересно говорит “отец истории” Геродот (кн. 2 “Евтерпа”, п.109).
Мухаммад ибн-Муса аль-Хорезми (ок.783 — ок.850), как говорится, в пиаре не нуждается. Отец алгебры как в прямом, так и в переносном смысле (это он назвал операцию переноса слагаемого в другую часть соотношения с противоположным знаком словом “аль-джебр” — “восполнение”), от чьего прозвища произошёл термин “алгоритм” (латинизированная форма — Algorithmi).
