Единица

Известно, что разные курсы и разные преподаватели по-разному трактуют множество натуральных чисел. Где-то утверждается, что оно начинается с единицы, где-то его отсчитывают с нуля.

На то и другое есть свои резоны. В преподавании классического анализа удобнее считать с единицы (тогда во многих ситуациях без всяких оговорок оказывается невозможным деление на ноль), алгебраистам же удобнее с нулём — тогда натуральные числа образуют полугруппу как относительно сложения, так и относительно умножения (правда, единичными элементами для этих операций будут выступать разные числа).

На сáмом деле вопрос о вхождении или невхождении нуля в натуральные числа совершенно непринципиален: легко показывается, что два соответствующих множества эквивалентны между собой. Гораздо интереснее другое: чрезвычайно долго натуральным числом (и числом вообще!) не считалась единица!

Если обратиться к “Началам” Эвклида (?365 — 300 до н.э.), то в VII.1-2 мы увидим прямое утверждение:

Единица есть то, через что каждое из существующих считается единым. Число же — множество, составленное из единиц.

Первую витиеватую фразу до сих пор мусолят философы, любящие формулировки типа “единица есть общее свойство отдельных предметов, объединяющее их без нарушения целостности”… Из второй же фразы непосредственно следует, что самý единицу Эвклид к числам не относил.

Примерно в то же время по схожему поводу столь же витиевато высказался Аристотель (384 — 322 до н.э.):

Точка есть единица, имеющая положение, единица есть точка без положения.

То есть задание точки Аристотель как бы считал эквивалентным заданию системы отсчёта (известно, откуда и как измерять), единицу же он объявил абстрактной меркой, ни к чему не приложенной (известно, как измерять, но неизвестно откуда).

Тысячу лет спустя ничего не изменилось. Арабский математик Мухаммад ибн-Муса аль-Хорезми (?783 — ?850) в своей “Книге об индийском счёте” [т.е., о той сáмой системе цифровой записи, которую мы ныне называем арабской — и которая, собственно, дошла до нас как раз благодаря этой книге!] написал так:

Я уже открыл в книге алгебры, что всякое число является составным [не в нашем нынешнем смысле! — М.Б.], и что всякое число составляется из единиц. Итак, единица находится в каждом числе. И об этом говорится в другой книге по арифметике. Единица есть корень [опять не в нашем смысле — М.Б.] всякого числа, и она находится вне чисел. Корень числа она потому, что через неё определяют всякое число. Вне чисел она потому, что определяется сама по себе, т.е. без какого-либо другого числа. Остальные же числа не могут быть найдены без единицы.

Здесь, как видно, говорится прямо: единица не есть число. Ещё около трёхсот лет спустя другой араб Омар Хайям (1048 — 1131) предложил этому утверждению другое объяснение (цитата из его “Трактата о всеобщности существования”):

Если кто-нибудь спросит, какое число наименьшее, мы ответим “два”, так как единица не есть число: у всякого числа имеется предыдущее и последующее…

Из чего также видно, что ноль числом не считался совершенно точно.

Ситуация начала меняться лишь пятью веками позже. Айзек Ньютон (1643 — 1727) в своей “Всеобщей арифметике” прямо возразил Эвклиду (с трактатами аль-Хорезми и Хайяма Ньютон знаком не был):

Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлечённое отношение какой-либо величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу.

Слова “…того же рода…” свидетельствуют, что единица уже никак не выделялась из прочих чисел.

Однако если заглянуть ещё на век с небольшим позже, то можно обнаружить, что не всё так просто. У чешского математика Бернарда Больцано (1781 — 1848) — между прочим, главного предтечи современной теории множеств! — в знаменитой работе “Парадоксы бесконечного” можно прочитать следующие строки:

Представим себе ряд, первый член которого есть единица рода А, а каждый последующий член составляется из своего предыдущего таким образом, что, взяв предмет ему равный, соединяют его с новой единицей рода А, образуя из них сумму. Тогда все входящие в этот ряд члены за исключением первого, который представляет простую единицу рода А, будут количествами. Они будут представлять именно те количества, которые я называю конечными или исчислимыми количествами или даже — со включением первого члена — числами, более определённо: целыми числами.

Назвав единицу числом, Больцано отказывал ей в праве быть количеством. (Современный математик сказал бы, что отнеся единицу к целым числам, Больцано не считал её ординальным числом.) Это подтверждается и тем, что в другой своей работе (“Учение о науке”, §84) учёный мельком упомянул, что наименьшими множествами считает двухэлементные.

Лишь после работ Георга Кантора (1845 — 1918) понятие о множествах прибрело современный вид, пустые и одноэлементные множества также вошли в обиход, а вместе с этим и единица (наравне с нулём) стала считаться ординальным числом. Вот, кстати, и ещё одна причина, по которой иногда ноль причисляют к натуральным числам…