7 июля 2011 г.

Решение квадратных уравнений циркулем и линейкой, часть 1

Древнегреческая математика была геометрической, и знаменитое “…при помощи циркуля и линейки” много раз слышал каждый. Такие построения позволяют сделать довольно многое: циркулем и линейкой можно выполнять четыре арифметические действия, а также извлекать квадратный корень. Это означает, что геометрическими построениями можно решать квадратные уравнения.

Действительно, греки это умели. Правда, они не знали отрицательных решений, так как числа представляются при этом длинами отрезков. Но найти в современной литературе греческие способы почему-то практически нереально — между тем, они являются прекрасными задачами на доказательство, великолепно подходящими для занятий со школьниками. Попробуем восполнить этот пробел.

Мы для удобства будем рассматривать приведённые уравнения, с единичным коэффициентом при старшей степени. Все возможные случаи можно классифицировать пятью типами:

  • Тип 0: “квадрат сопоставлен корням”, т.е.  х² = ах
  • Тип 1: “квадрат сопоставлен числу”, т.е. х² = m
  • Тип 2: “квадрат сопоставлен корням и числу”, т.е.  х² = ах + m
  • Тип 3: “квадрат и корни сопоставлены числу”, т.е.  х² + ах = m
  • Тип 4: “квадрат и число сопоставлены корням”, т.е.  х² + m = ах

Напомню ещё раз, что коэффициенты везде положительны. Использованные здесь названия типов греками не употреблялись, они характерны для арабской математики (где-то с VII в. н.э.), но с ними сразу понятно, о чём идёт речь.

Рассмотрим все эти типы. Основные геометрические построения (разделить отрезок пополам, провести перпендикуляр к отрезку через заданную точку и т.п.) предполагаются известными.

Квадрат сопоставлен корням:  х² = ах

Самый простой случай, который даже не требует построений как таковых. Левая часть представляет собой площадь квадрата со стороной х, в правой части стоит площадь прямоугольника со сторонами х и а. Поскольку площади двух прямоугольников с одной общей стороной могут быть равны лишь при совпадении других сторон, отсюда следует, что х и а должны совпадать.

Квадрат сопоставлен числу: х² = m

Необходимо провести прямую и произвольно отметить на ней точку О.

В одну сторону от О отложить единичный отрезок ОА. В другую сторону от О отложить отрезок ОВ длины m.

Построить полуокружность на отрезке АВ, используя его как диаметр (центром полуокружности является середина отрезка).

Провести перпендикуляр к отрезку АВ через точку О. Отметить точку С, в которой этот перпендикуляр пересекается с полуокружностью.

Длина отрезка ОС равна квадратному корню из числа m и даёт, таким образом, решение уравнения.

Все уравнения следующих типов (2-4) решаются с использованием этого приёма, позволяющего геометрически находить квадратные корни.

Продолжение следует.

Комментариев нет:

Отправить комментарий