5 сентября 2011 г.

О проблеме понимания математики

В сентябре многие студенты пришли учиться на первый курс, и очень многим из них придётся столкнуться с теми или иными математическими дисциплинами. Традиционно возникает много нытья о непонимании математики.

Проблема эта старая и очень хорошо известная. Лучше всех о ней написал Анри Пуанкаре (1854-1912).

Чем объяснить, что многие умы отказываются понимать математику? Не парадоксально ли это? В самом деле, вот наука, которая апеллирует только к основным принципам логики, например к принципу противоречия, апеллирует к тому, что составляет, так сказать, скелет нашего разумения, к тому, от чего нельзя отказаться, не отказываясь вместе с тем от самого мышления, и всё же встречаются люди, которые находят эту науку тёмной! И этих людей большинство! Пусть бы они оказались неспособными изобретать — это ещё допустимо. Но они не понимают доказательств, которые им предлагают, они остаются слепыми, когда им подносят свет, который для нас горит чистым и ярким пламенем, — вот что чрезвычайно странно.

А между тем достаточно и небольшого опыта, доставляемого экзаменами, чтобы убедиться в том, что эти слепые отнюдь не являются исключениями. Здесь имеется проблема, которая не легко решается, но которая должна занимать всех, желающих посвятить себя делу преподавания.

Что значит понимать? Имеет ли это слово для всех одно и то же значение? Понять доказательство теоремы — значит ли это рассмотреть последовательно каждый из силлогизмов, из коих составляется доказательство, и констатировать, что он правилен и согласуется с ходом задачи? Точно так же понять определение — значит ли это только признать, что смысл всех употребленных в нем терминов уже известен, и констатировать, что определение не заключает в себе никакого противоречия?

«Да»,— скажут одни, которые, констатировав отсутствие противоречия в определении, говорят: «мы его поняли». «Нет»,— скажет большинство. Почти все люди оказываются более требовательными; они хотят не только знать, правильны ли все силлогизмы доказательства, но еще и знать, почему силлогизмы связываются в данном, а не в другом порядке. Пока им кажется, что эта связь рождена капризом, а не разумом в постоянном сознании преследуемой цели, они думают, что не поняли доказательства.

Без сомнения, они сами не отдают себе отчёта в том, чего они собственно требуют, и не могут формулировать своего желания; но если они не находят удовлетворения, то они смутно чувствуют, что чего-то им недостаёт. Что же тогда происходит? Вначале они ещё схватывают те очевидные вещи, которые представляются их взору; но, так как последние связаны чрезвычайно тонкой нитью с предшествующими и последующими, то они не оставляют никакого следа в их мозгу; они тотчас забываются. Освещённые на одно мгновение, они сейчас же исчезают в сумраке вечной ночи. А когда эти люди следят за дальнейшим развитием доказательства, для них исчезает и прежняя эфемерная ясность, так как теоремы опираются одна на другую, а теоремы, которые им нужны, уже забыты. Таким образом, эти люди становятся неспособными понимать математику.

Не всегда здесь виной преподаватель; зачастую ум людей, нуждающийся в руководящей нити, слишком ленив для поисков ее.

Часть математических доказательств рождена истинными гениями, которые способны были мысленно построить длинные цепочки рассуждений, интуитивно видя, что в конце они ведут к нужному результату. Это сродни искусству опытного мастера-шахматиста, который, помня множество дебютов с их вариантами развития и зная манеру игры своего оппонента, строит партию так, чтобы его оппонент имел иллюзию выбора, но в действительности делал ходы, ведущие его к поражению, причём эта иллюзорность открывается слишком поздно.

Другая часть доказательств появилась как результат обобщения конкретных задач на более произвольные случаи — и ход рассуждений, изначально диктовавшийся самóй задачей в конкретных случаях, оказывается вовсе не очевидным в общей ситуации.

В конце концов, про множество математических результатов можно (и нужно!) сказать, что они доказываются так по очень простой причине — так их удаётся доказать, а другие способы либо не ведут к требуемому, либо ведут более длинным путём!

Вместо того, чтобы твердить себе «я не понимаю, почему эта теорема доказывается именно таким способом, а глупый преподаватель не хочет или не умеет это объяснить!» нужно запоминать ход рассуждений и учиться самостоятельно применять их по аналогии. Как тот шахматист, осваивающий новый дебют по ранее сыгранным кем-то партиям и самостоятельно пробующий его играть.

Комментариев нет:

Отправить комментарий