29 июля 2011 г.

Парадокс Ришара-Берри

В математике множество является неопределяемым понятием (о чём ещё будет как-нибудь позже). При этом во многих курсах — особенно рассчитанных на общетехнические специальности и гуманитариев — можно встретить оптимистические утверждения вида “хотя мы не можем определить понятие множества, мы можем, опираясь на интуицию, с лёгкостью определять любое конкретное множество его описанием…”

Подобные взгляды характерны для так называемой наивной теории множеств второй половины XIX века. В 1906 году французский математик Жюль Ришáр (1862 — 1956) предложил парадокс, показывающий, что не всё так просто. В исходном виде его формулировка требует достаточно близкого знакомства с теорией, поэтому рассмотрим немного упрощённую — так называемую формулировку Ришара-Берри.

Будем рассматривать множество — обозначим его А — всех натуральных чисел, которые можно задать не более чем десятью словами. Например:

223 = “двести двадцать три”
1073741824 = “два в тридцатой степени”
355687428096000 = “факториал семнадцати”, и т.п.

Словарный запас русского языка хоть и велик, но ограничен — даже с учётом всевозможных грамматических форм. Тем более ограничен запас слов, имеющих какое-то отношение к математике.

Это означает, что наше множество А будет конечным, тогда как натуральных чисел бесконечно много. Существуют, следовательно, натуральные числа, не входящие в А. Среди них есть наименьшее, так как натуральные числа и любое их подмножество ограничены снизу. Обозначим это число m.

Если m не входит в А, то это число нельзя задать десятью или менее словами. Однако, если записать формулировку

m = “наименьшее число, которое нельзя задать не более чем десятью словами”,

то она будет содержать десять слов, и, следовательно, m должно быть элементом построенного множества А!

Причину возникновения парадокса указал сам автор — он строил этот пример не для того, чтобы чего-то опровергнуть, а чтобы обратить внимание на некоторые важные аспекты зарождающейся теории множеств.

Суть заключается в том, что предполагаемый элемент множества — число m — строится через определение самогó этого множества, причем всего сразу, причём с отрицанием. Это называется определением через ложный круг и, естественно, не является допустимым. Посмотрите внимательнее: за всеми словесными формулировками мы определили элемент m множества А как наименьшее натуральное число, которое не принадлежит множеству А!

А в своём исходном виде парадокс Ришара поднимал ещё одну важную проблему: указать число и назвать число в вербальном языке — это далеко не одно и то же…

Комментариев нет:

Отправить комментарий