1 июля 2011 г.

Приближённое извлечение корней (способ Герона)

Раньше в школах, наряду со сложением-вычитанием и умножением-делением, учили выполнять “в столбик” извлечение корня (так называемый “ньютоновский способ”, он описан в трактате “Всеобщая арифметика”). Потом перестали, оставив сие действие на откуп сначала таблицам Брадиса и логарифмическим линейкам, а потом калькуляторам.

А ведь уметь извлекать корни без вычислительных средств — умение нелишнее! Допустим, ньютоновский способ довольно трудоёмок… но вот есть простые и неплохие способы Герона, которым скоро исполнится две тысячи лет.

Слово автору (цитируется по трактату “Метрика”). Сначала о квадратных корнях.

Так как 720 не имеет рационального корня, то найдём корень с очень малой погрешностью. Так как ближайший к 720 квадрат есть 729, и оно имеет корнем 27, то разделим 720 на 27. Получается 26 и 2/3. Приложи само 27. Получается 53 и 2/3. Возьми половину этого. Получается 26 и 5/6. Итак, ближайший корень из 720 будет 26 и 5/6. Если помножить на самое себя, получается 720 и 1/36, так что погрешность есть 36-ая часть единицы. Если мы пожелали бы, чтобы погрешность стала меньшей, то вместо 729 мы возьмём только что найденное 720 и 1/36, затем проделав то же самое, найдём, что погрешность уже гораздо меньше.

Результат тем точнее, чем ближе число к известному квадрату. Один верный знак после запятой получается с первого раза практически всегда.

А теперь о кубических корнях.

Теперь скажем, как найти кубический корень из 100. Возьми ближайший от 100 куб, как превосходящий, так и недостающий. Это 5³=125 и 4³=64. Насколько первый превосходит? На 25. Насколько второй недостаёт? На 36. Сделай умножение 5×36, получится 180. И прибавь умножение 4×25=100, получится 280. Раздели 180 на 280, получится 9/14; прибавь это к стороне меньшего куба, то есть к 4. Получится 4 и 9/14. Это есть кубический корень из 100 с наивозможной точностью.

В пределах тысячи этот приём обычно даёт два верных знака после запятой. Запоминать его проще всего по следующей схеме:

geron-cube

Комментариев нет:

Отправить комментарий