Парадокс Ришара-Берри

В математике множество является неопределяемым понятием (о чём ещё будет как-нибудь позже). При этом во многих курсах — особенно рассчитанных на общетехнические специальности и гуманитариев — можно встретить оптимистические утверждения вида “хотя мы не можем определить понятие множества, мы можем, опираясь на интуицию, с лёгкостью определять любое конкретное множество его описанием…”

Подобные взгляды характерны для так называемой наивной теории множеств второй половины XIX века. В 1906 году французский математик Жюль Ришáр (1862 — 1956) предложил парадокс, показывающий, что не всё так просто. В исходном виде его формулировка требует достаточно близкого знакомства с теорией, поэтому рассмотрим немного упрощённую — так называемую формулировку Ришара-Берри.

Единица

Известно, что разные курсы и разные преподаватели по-разному трактуют множество натуральных чисел. Где-то утверждается, что оно начинается с единицы, где-то его отсчитывают с нуля.

На то и другое есть свои резоны. В преподавании классического анализа удобнее считать с единицы (тогда во многих ситуациях без всяких оговорок оказывается невозможным деление на ноль), алгебраистам же удобнее с нулём — тогда натуральные числа образуют полугруппу как относительно сложения, так и относительно умножения (правда, единичными элементами для этих операций будут выступать разные числа).

На сáмом деле вопрос о вхождении или невхождении нуля в натуральные числа совершенно непринципиален: легко показывается, что два соответствующих множества эквивалентны между собой. Гораздо интереснее другое: чрезвычайно долго натуральным числом (и числом вообще!) не считалась единица!

Аксиома выбора и вредный Дед Мороз

На рубеже XIX и XX веков в математике случился кризис, связанный с накоплением сверх критической массы интуитивных понятий и необоснованных аналогий. Преодоление этого кризиса связывали с аксиоматизацией науки, начиная с самых низов. А в сáмом низу находилась как раз построенная к тому моменту канторовская теория множеств. Правда, очень быстро выяснилось, что и тут не обходится без двусмысленностей, и одним из главнейших камней преткновения стала так называемая аксиома выбора.

Это очень интересная проблема. Понять её способен даже школьник средних классов, а вынести мозги она способна кому угодно.

Решение квадратных уравнений циркулем и линейкой, дополнение

В трактатах Омара Хайяма нашёлся ещё один интересный способ решения уравнения типа “квадрат и число сопоставлены корням”. Интересен он тем, что из него геометрически сразу же видна часть теоремы Виета. Стоит рассмотреть!

Решение квадратных уравнений циркулем и линейкой, часть 3

Заканчиваем тему. Осталось рассмотреть один, самый сложный тип — в отличие от всех предыдущих случаев, здесь возможны ситуации, когда имеется два положительных вещественных решения или их нет вовсе. По-прежнему требуется геометрическое извлечение квадратного корня (см. ранее описанный тип уравнения “квадрат сопоставлен числу”).