Обучение алгебре в школе обычно начинается с решения уравнений первой степени (т.е. линейных). Вполне логично: это древнейшее математическое знание, которым человечество владело ещё четыре тысячи лет назад. Но тогда это делалось совсем иначе, нежели сейчас!
25 мая 2014 г.
9 мая 2014 г.
12 признаков хорошего преподавателя математики
Хороший преподаватель математики…
- Никогда, никому и ни при каких условиях не говорит, что он знает свой предмет досконально. Он, собственно, вообще не вправе об этом судить — вправе только его ученики.
- Не забивает себе голову памятью о том, что требуется редко. Но если оно требуется, то способен вывести это „с нуля“. И аналогично относится к ученикам.
- Не стесняется говорить, что он чего-то не знает. Хотя говорить такое ему приходится довольно редко.
- Способен провести любое занятие без всякой предварительной подготовки и подручных материалов — в том числе без книжек и задачников. Хотя лекции так обычно не читает, ибо это всё-таки нерациональное использование драгоценного времени.
- Не пользуется проектором на занятиях. Ибо любая презентация есть застывшая мысль, математике категорически противопоказанная. Исключениями могут быть обзорные лекции и спецкурсы для старшекурсников, магистрантов и аспирантов, которые уже научились (или почти научились) мыслить сами и которым нужно передать большой объём знаний за сравнительно небольшое время.
- Никогда не даёт ученикам алгоритмических рецептов решения каких бы то ни было задач. Ибо учит не решать задачи, а думать.
- Не обязательно хорошо рисует, но уж любую нужную фигуру или поверхность с любым нужным сечением способен внятно нарисовать в любой нужной проекции за приемлемое время, не ограничиваясь маханием рук в воздухе.
- Презрительно плюёт на утверждённые программы и методики. Ибо ему, и только ему виднее всех, как научить думать этих конкретных людей.
- Снисходителен к посредственным ученикам и никогда не пудрит им мозги высокими материями, пусть даже этого требует утверждённая программа. Научить их думать можно и на не особенно сложных вещах.
- Абсолютно беспощаден к ошибкам в решениях и доказательствах учеников, но при этом никогда не замедлит назвать чужое решение более удачным, чем своё, если это действительно так. У хорошего преподавателя это случается регулярно.
- Знает свободно английский язык и как минимум ещё один язык, кроме своего родного. Ибо хороший преподаватель немыслим без опыта знакомства с творчеством коллег, представляющих другие культуры.
- Регулярно слышит от учеников вопросы на темы, не связанные с математикой. (Если не слышит — значит, ему не удаётся заинтересовать учеников.) И всегда по мере своих знаний старается ответить на них, не считаясь со временем.
12 апреля 2014 г.
Задачи «с лишним рублём»
В математическом фольклоре многих народов есть интересный тип задач, в которых таинственным образом появляется или исчезает некоторая сумма денег. Делается это за счёт уплаты вперёд и последующего возврата части суммы, причём на возврате совершается некоторое жульничество.
Мне известны три такие старинные задачи — из них последняя является самой простой и, по-видимому, самой молодой (около века).
Мне известны три такие старинные задачи — из них последняя является самой простой и, по-видимому, самой молодой (около века).
9 апреля 2014 г.
Множества счётные и несчётные
Фундаментальным понятием в математике является счётное множество. Понятие это не так уж и сложно само по себе, но знакомство с ним обычно вызывает сложности у вчерашних школьников.
Существует, однако, вполне корректное, но гораздо более популярное определение счётности, легко доступное для понимания. Вот как оно выглядит.
Множество чётных натуральных чисел также счётно. В Книге Чётных Натуральных Чисел каждая страница с номером n должна содержать число 2n.
Множество нечётных натуральных чисел счётно: в его Книге на каждой n-ой странице нужно указать число 2n-1.
Множество натуральных чисел, являющихся точными квадратами, тоже счётно. В его Книге всякая страница с номером n должна нести на себе число n². Этот факт заметил ещё Галилей.
Существуют, однако, и несчётные множества. Так, например, несчётно множество Х всех подмножеств натуральных чисел. Докажем это.
Предположим от противного, что Х счётно и его можно представить в виде Книги Натуральных Подмножеств (КНП).
Разделим все натуральные числа на две категории: „чёрные“ и „серые“. Будем называть натуральное число n чёрным, если оно является элементом множества, указанного на n-ой странице КНП и серым в противном случае. Пусть M — множество всех серых, и только серых натуральных чисел. Очевидно, M есть подмножество натуральных чисел, так что оно является элементом Х.
Множество M должно быть указано на одной из страниц КНП; пусть эта страница имеет номер m. Может ли m быть серым числом? Нет, поскольку на m-ой странице указано множество всех серых чисел M, и m должно входить в него, что по определению делает m чёрным числом. Но если m является чёрным, то из его присутствия на данной странице следует, что множество M содержит по меньшей мере одно чёрное число, что противоречит построению.
Итак, множество серых чисел M не может быть указано ни на одной странице КНП, а следовательно, Х несчётно.
Существует, однако, вполне корректное, но гораздо более популярное определение счётности, легко доступное для понимания. Вот как оно выглядит.
Множество называется счётным, если его можно представить в виде Книги, составленной по следующим правилам:Достаточно очевидно, что само множество натуральных чисел является счётным. Действительно, в Книге Натуральных Чисел на n-ой странице достаточно указать число n.
- На каждой странице Книги указан ровно один элемент множества.
- Каждый элемент множества указан ровно на одной странице Книги.
- Все страницы Книги обычным образом пронумерованы последовательно увеличивающимися натуральными числами, начиная с единицы.
- Каким бы не было натуральное число, в Книге есть страница с соответствующим номером.
Множество чётных натуральных чисел также счётно. В Книге Чётных Натуральных Чисел каждая страница с номером n должна содержать число 2n.
Множество нечётных натуральных чисел счётно: в его Книге на каждой n-ой странице нужно указать число 2n-1.
Множество натуральных чисел, являющихся точными квадратами, тоже счётно. В его Книге всякая страница с номером n должна нести на себе число n². Этот факт заметил ещё Галилей.
Существуют, однако, и несчётные множества. Так, например, несчётно множество Х всех подмножеств натуральных чисел. Докажем это.
Предположим от противного, что Х счётно и его можно представить в виде Книги Натуральных Подмножеств (КНП).
Разделим все натуральные числа на две категории: „чёрные“ и „серые“. Будем называть натуральное число n чёрным, если оно является элементом множества, указанного на n-ой странице КНП и серым в противном случае. Пусть M — множество всех серых, и только серых натуральных чисел. Очевидно, M есть подмножество натуральных чисел, так что оно является элементом Х.
Множество M должно быть указано на одной из страниц КНП; пусть эта страница имеет номер m. Может ли m быть серым числом? Нет, поскольку на m-ой странице указано множество всех серых чисел M, и m должно входить в него, что по определению делает m чёрным числом. Но если m является чёрным, то из его присутствия на данной странице следует, что множество M содержит по меньшей мере одно чёрное число, что противоречит построению.
Итак, множество серых чисел M не может быть указано ни на одной странице КНП, а следовательно, Х несчётно.
15 марта 2014 г.
Платон, Сократ и логика
Разные ответы Платона
Платон всегда говорил правду и только правду, никогда не отступая от этого правила. Но однажды некто два раза подряд задал ему один и тот же вопрос, и Платон ответил ему по-разному: первый раз «нет», а второй раз «да». Что это был за вопрос?
Абсолютная ложь Сократа
Однажды некто спросил Сократа: что есть абсолютная ложь? Сократ усмехнулся, произнёс короткое утверждение и поинтересовался у спросившего, истинно ли оно. Тот определил, что утверждение ложно.
Тогда Сократ произнёс точное отрицание этого утверждения и снова поинтересовался, истинно ли оно. Спросивший вынужден был признать, что это отрицание ложного утверждения также ложно.
Какое утверждение высказал Сократ?
Одинаковые ответы Платона и Сократа
В присутствии Платона Сократ из вредности говорил ложь и только ложь, также неотступно следуя этому правилу. Но однажды некто встретил обоих мудрецов, прогуливавшихся вместе, задал им вопрос и получил на него от обоих одинаковые ответы. Что это был за вопрос?
Ученики Платона и Сократа
Некий прохожий шёл по своим делам и увидел группу людей, сидевших крýгом на земле и что-то оживлённо обсуждавших. Отдельные реплики звучали столь странно, что он не поверил своим ушам и воскликнул:
— В своём ли вы уме?!
Ответом ему была разноголосица «да!» и «нет!». Прохожему показалось, что он услышал чересчур много «да», и он усомнился:
— Да правду ли вы говорите?
На этот раз все хором сказали «да!»
— Что, и за правдивость соседа справа каждый из вас готов поручиться? — продолжал сомневаться прохожий.
Ответом было дружное «нет!»
Тут мимо проходил ещё какой-то человек, который пояснил:
— Это ученики Платона и Сократа собрались на диспут. Они во всём следуют правилам своих учителей насчёт правды и лжи. Сами-то давно привыкли к этому, а вот для посторонних их речи и впрямь странны.
— Так сами Платон и Сократ тоже здесь?! — заинтересовался прохожий.
— Ну да. Вон там, в сторонке, сидят двое и внимательно слушают. Видишь? Это они и есть.
Прохожий направился к мудрецам, но… тут же понял, что не знает, кто из них кто. Он приветствовал их обоих и начал разговор с нейтрального вопроса:
— Сколько же у вас учеников, уважаемые?
— Сорок пять на двоих, — ответил один. — Не больше и не меньше.
— Мой друг преувеличивает, — улыбнулся другой. — У нас с ним по двадцать учеников, так что всего получается лишь сорок.
Кто из мудрецов был Платоном, кто Сократом, и сколько у них было учеников?
24 января 2014 г.
Парадокс взаимоисключающих уникальностей
Известнейшим логическим парадоксом является парадокс взаимоисключающих уникальностей. Раймонд Смаллиан выразил его суть следующим образом:
Что случится, если выстрелить Всесокрушающим Ядром в Несокрушимую Стену?
Интересно, что этот парадокс вместе с описанием его разрешения — в принципе, абсолютно логичным! — встречается в древнегреческой мифологии.
По преданию, жители Фив чем-то прогневали Диониса, и тот покарал их нашествием Тевмесской лисицы — хищницы, которую по воле бога никто и ничто не могло догнать. Каждый месяц фиванцы были вынуждены приносить ей в жертву прекрасного юношу (здесь у мифа имеются варианты, но не в них суть).
Желая спасти фиванцев, Амфитрион (внук Персея, будущий земной отец Геракла) позвал на помощь Кефала — охотника, пользовавшегося расположением богов. И кстати сказать, будущего прадеда Одиссея. Тот спустил на лисицу чудесного пса Лелапа, от которого по воле Артемиды (в некоторых версиях — Гефеста) не могла уйти никакая дичь.
Качества волшебных зверей исключали друг друга, и они воззвали к своим небесным покровителям. Но и боги, явившиеся на место охоты, не знали, как тут быть. Противоречие разрешил лишь Зевс, который обратил в камень пса и лисицу.
Решение, в принципе, абсолютно правильное: взаимоисключающие уникальности просто-напросто не могут существовать одновременно. Однако у этого парадокса есть интересная версия, связанная с таким понятием, как всемогущество. О чём будет в другой раз.
Подписаться на:
Сообщения (Atom)