9 апреля 2014 г.

Множества счётные и несчётные

Фундаментальным понятием в математике является счётное множество. Понятие это не так уж и сложно само по себе, но знакомство с ним обычно вызывает сложности у вчерашних школьников.

Существует, однако, вполне корректное, но гораздо более популярное определение счётности, легко доступное для понимания. Вот как оно выглядит.
Множество называется счётным, если его можно представить в виде Книги, составленной по следующим правилам:
  • На каждой странице Книги указан ровно один элемент множества.
  • Каждый элемент множества указан ровно на одной странице Книги.
  • Все страницы Книги обычным образом пронумерованы последовательно увеличивающимися натуральными числами, начиная с единицы.
  • Каким бы не было натуральное число, в Книге есть страница с соответствующим номером.
Достаточно очевидно, что само множество натуральных чисел является счётным. Действительно, в Книге Натуральных Чисел на n-ой странице достаточно указать число n.

Множество чётных натуральных чисел также счётно. В Книге Чётных Натуральных Чисел каждая страница с номером n должна содержать число 2n.

Множество нечётных натуральных чисел счётно: в его Книге на каждой n-ой странице нужно указать число 2n-1.

Множество натуральных чисел, являющихся точными квадратами, тоже счётно. В его Книге всякая страница с номером n должна нести на себе число . Этот факт заметил ещё Галилей.

Существуют, однако, и несчётные множества. Так, например, несчётно множество Х всех подмножеств натуральных чисел. Докажем это.



Предположим от противного, что Х счётно и его можно представить в виде Книги Натуральных Подмножеств (КНП).

Разделим все натуральные числа на две категории: „чёрные“ и „серые“. Будем называть натуральное число n чёрным, если оно является элементом множества, указанного на n-ой странице КНП и серым в противном случае. Пусть M — множество всех серых, и только серых натуральных чисел. Очевидно, M есть подмножество натуральных чисел, так что оно является элементом Х.

Множество M должно быть указано на одной из страниц КНП; пусть эта страница имеет номер m. Может ли m быть серым числом? Нет, поскольку на m-ой странице указано множество всех серых чисел M, и m должно входить в него, что по определению делает m чёрным числом. Но если m является чёрным, то из его присутствия на данной странице следует, что множество M содержит по меньшей мере одно чёрное число, что противоречит построению.

Итак, множество серых чисел M не может быть указано ни на одной странице КНП, а следовательно, Х несчётно.

Комментариев нет:

Отправить комментарий