Рациональные степени

Простой вроде бы вопрос: что получится, если минус единицу возвести в степень две трети? Иными словами —

Вопрос этот далеко не так прост, как может показаться на первый взгляд.

Школьник уверенно ответит, что результат равен единице, и в доказательство сошлётся на формулу, которую ему дали в качестве определения рациональных степеней:

и согласно которой получается

Формула, разумеется, правильна. Ответ — не совсем. Попробуем посчитать то же самое при помощи калькулятора.

В девяти случаях из десяти ответом будет сообщение об ошибке. Оставшийся один случай приходится либо на “особо умные” калькуляторы, либо на программы, эмулирующие калькулятор на сложном вычислительном устройстве (например, “калькулятор” под Windows7 посчитает правильно).

Хорошо, попробуем считать как учили в школе.

Здесь примерно в половине случаев можно столкнуться с ещё более удивительным сюрпризом: ошибка выскочит на середине вычислений, при втором нажатии возведения в степень. Хотя если этого не произойдёт, то ответ будет правильным.

Понять причины можно только зная способ вычисления степеней на калькуляторах (он же реализован и в большинстве ординарных языков программирования). Вот как это делается:

(экспонента и логарифм легко считаются через разложения в быстро сходящиеся ряды). Разумеется, могут использоваться логарифмы и с другими основаниями.

Теперь понятен источник ошибки, ведь

а вещественного логарифма отрицательных чисел не существует! Ошибки, понятно, не будет в тех случаях, когда калькулятор (или имитирующая его программа) умеет отслеживать природу показателя степени и отдельно обрабатывать ситуации, если он целый или рациональный.

С другой стороны, формула ведь должна давать ответ, согласующийся с определением рациональной степени?! Попробуем разрешить противоречие, обратившись к комплексным числам.

На основании известной формулы Эйлера

нетрудно увидеть, чему равен комплексный логарифм минус единицы:

Тогда получается, что

что опять-таки не согласуется с результатом по “школьной” формуле!

Причина кроется в многозначности комплексного логарифма

которая определяет три ветви корня третьей степени, из которых “школьная” (та, что даёт ответом для минус единицы также минус единицу) является не главной (нулевой), а всего лишь следующей за ней (первой).

К сожалению, о таких вещах, лежащих на стыке математики и информатики, обычно не упоминается не только в школе, но даже и в большинстве университетских курсов…