Фундаментальным понятием в математике является
счётное множество. Понятие это не так уж и сложно само по себе, но знакомство с ним обычно вызывает сложности у вчерашних школьников.
Существует, однако, вполне корректное, но гораздо более популярное определение счётности, легко доступное для понимания. Вот как оно выглядит.
Множество называется счётным, если его можно представить в виде Книги, составленной по следующим правилам:
- На каждой странице Книги указан ровно один элемент множества.
- Каждый элемент множества указан ровно на одной странице Книги.
- Все страницы Книги обычным образом пронумерованы последовательно увеличивающимися натуральными числами, начиная с единицы.
- Каким бы не было натуральное число, в Книге есть страница с соответствующим номером.
Достаточно очевидно, что само множество натуральных чисел является счётным. Действительно, в Книге Натуральных Чисел на
n-ой странице достаточно указать число
n.
Множество
чётных натуральных чисел также счётно. В Книге Чётных Натуральных Чисел каждая страница с номером
n должна содержать число
2n.
Множество
нечётных натуральных чисел счётно: в его Книге на каждой
n-ой странице нужно указать число
2n-1.
Множество натуральных чисел,
являющихся точными квадратами, тоже счётно. В его Книге всякая страница с номером
n должна нести на себе число
n². Этот факт
заметил ещё Галилей.
Существуют, однако, и несчётные множества. Так, например, несчётно множество
Х всех подмножеств натуральных чисел. Докажем это.
Предположим от противного, что
Х счётно и его можно представить в виде Книги Натуральных Подмножеств (КНП).
Разделим все натуральные числа на две категории: „чёрные“ и „серые“. Будем называть натуральное число
n чёрным, если оно является элементом множества, указанного на
n-ой странице КНП и
серым в противном случае. Пусть
M — множество всех серых, и только серых натуральных чисел. Очевидно,
M есть подмножество натуральных чисел, так что оно является элементом
Х.
Множество
M должно быть указано на одной из страниц КНП; пусть эта страница имеет номер
m. Может ли
m быть серым числом? Нет, поскольку на
m-ой странице указано множество всех серых чисел
M, и
m должно входить в него, что по определению делает
m чёрным числом. Но если
m является чёрным, то из его присутствия на данной странице следует, что множество
M содержит по меньшей мере одно чёрное число, что противоречит построению.
Итак, множество серых чисел M не может быть указано ни на одной странице КНП, а следовательно,
Х несчётно.
