Деление отрезка циркулем и линейкой

К числу классических задач на построение, не входящих в школьный курс геометрии, принадлежит задача о произвольном делении отрезка. Школьников учат лишь дихотомии, т.е. делению отрезка пополам (этот же способ даёт возможность строить перпендикуляр к прямой) — и, как следствие, на $2^n$ равных частей (путём последовательного применения дихотомии).

Между тем, существует простой и изящный общий способ, который стоит рассмотреть.

Пусть имеется отрезок $AB$, который требуется разделить циркулем и линейкой на $n$ равных частей. (Чертёж изображает ситуацию, когда $n=3$.)

1. Провести произвольный луч $AC$. Для удобства построения желательно, чтобы он образовывал с отрезком острый угол.
2. Выбрав произвольную длину, отложить её циркулем $n$ раз на луче $AC$. Последнюю полученную таким образом точку обозначить $D$.
3. Построить окружность с центром в $B$ и радиусом $AD$. Построить окружность с центром в $A$ радиусом $BD$. Точку их пересечения обозначить $E$.
4. Провести отрезок $BE$. Он параллелен отрезку $AD$ (см. здесь) и имеет равную с ним длину.
5. Отложить на отрезке $BE$ последовательно ту же длину, что откладывалась на $AD$.
6. Соединить прямыми соответствующие точки, построенные на отрезках $BE$ и $AD$. Пересекая отрезок $AB$, они делят его на требуемое число равных частей.

Этот метод основан на теореме Фалеса: параллельные прямые, отсекающие равные отрезки на одной прямой, отсекают равные отрезки и на другой прямой. Он также может быть применён для деления отрезка в заданном соотношении $m:n$ — для этого достаточно разделить его на $m+n$ равных частей.

К делению отрезка также можно отнести задачу о построении золотого сечения, рассмотренную здесь.

---

Формулы в этой статье набраны при помощи MathJax. На их рендеринг может потребоваться несколько дополнительных секунд после того, как текст будет загружен. Если вы не видите формул — в вашем браузере неправильно сконфигурирован JavaScript.