Среднее арифметическое и среднее геометрическое

С тех пор, как в 1821 году маэстро Коши доказал так называемое неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим, оно кочует по всем более-менее продвинутым задачникам. Суть его очень проста: для любых положительных чисел $x_1,x_2,\ldots,x_n$ имеет место соотношение

$$\sqrt{\vphantom{b} x_1\cdot x_2\cdots x_n}\leqslant\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}n,$$

причём равенство возможно тогда и только тогда, когда все эти числа совпадают между собой.

Простейшим случаем, конечно, является $n=2$. Но даже и этот случай весьма любопытен — как изящным алгебраическим доказательством, так и чисто геометрической интерпретацией.

---

Сначала докажем неравенство

$$\sqrt{ab}\leqslant\frac{a+b}2$$

алгебраически. Для этого достаточно рассмотреть эквивалентное ему

$$a+b\geqslant2\sqrt{ab}$$

и преобразовать следующим образом:

$$a-2\sqrt{ab}+b\geqslant0$$

$$(\sqrt{\vphantom{b} a})^2-2\sqrt{ab}+(\sqrt b)^2\geqslant0$$

$$(\sqrt{\vphantom{b} a}-\sqrt b)^2\geqslant0,$$

откуда справедливость утверждения вполне очевидна. Далее рассмотрим геометрическую интерпретацию.

---

На прямой произвольно отметим точку $A$ и отложим от неё в разные стороны отрезки $AB=a$ и $AC=b$. Разделим отрезок $BC$ пополам точкой $D$. Тогда $CD=BD=\frac{a+b}2$ (среднее арифметическое). Проведём этим радиусом полуокружность с центром в $D$. Построим перпендикуляры к $BC$ через $A$ и $D$ до пересечения с полуокружностью в точках $F$ и $E$ соответственно. На чертеже они показаны зелёным и красным.

Можно показать, что $AF=\sqrt{ab}$. Действительно, прямоугольные треугольники $ABF$ и $ACF$ подобны по общему острому углу ($\angle AFC=\angle ABF$), откуда следует пропорция

$$\frac{AF}{AB}=\frac{AC}{AF}\quad\Longrightarrow\quad AF^2=AB\cdot AC=ab.$$

Очевидно, любой отрезок перпендикуляра к $BC$, заключенный между самим $BC$ и построенной на нём полуокружностью, не может быть длиннее радиуса $DE$, так что

$$AF=\sqrt{ab}\leqslant DE=CD=BD=\frac{a+b}2.$$

Равенство же возможно лишь тогда, когда совпадут точки $A$ и $D$, т.е. при $a=AB=AC=b$.

---

Формулы в этой статье набраны при помощи MathJax. На их рендеринг может потребоваться несколько дополнительных секунд после того, как текст будет загружен. Если вы не видите формул — в вашем браузере неправильно сконфигурирован JavaScript.