Парадокс взаимоисключающих уникальностей

Известнейшим логическим парадоксом является парадокс взаимоисключающих уникальностей. Раймонд Смаллиан выразил его суть следующим образом:

Что случится, если выстрелить Всесокрушающим Ядром в Несокрушимую Стену?

Интересно, что этот парадокс вместе с описанием его разрешения — в принципе, абсолютно логичным! — встречается в древнегреческой мифологии.

---

По преданию, жители Фив чем-то прогневали Диониса, и тот покарал их нашествием Тевмесской лисицы — хищницы, которую по воле бога никто и ничто не могло догнать. Каждый месяц фиванцы были вынуждены приносить ей в жертву прекрасного юношу (здесь у мифа имеются варианты, но не в них суть).

Желая спасти фиванцев, Амфитрион (внук Персея, будущий земной отец Геракла) позвал на помощь Кефала — охотника, пользовавшегося расположением богов. И кстати сказать, будущего прадеда Одиссея. Тот спустил на лисицу чудесного пса Лелапа, от которого по воле Артемиды (в некоторых версиях — Гефеста) не могла уйти никакая дичь.

Качества волшебных зверей исключали друг друга, и они воззвали к своим небесным покровителям. Но и боги, явившиеся на место охоты, не знали, как тут быть. Противоречие разрешил лишь Зевс, который обратил в камень пса и лисицу.

---

Решение, в принципе, абсолютно правильное: взаимоисключающие уникальности просто-напросто не могут существовать одновременно. Однако у этого парадокса есть интересная версия, связанная с таким понятием, как всемогущество. О чём будет в другой раз.

Деление отрезка циркулем и линейкой

К числу классических задач на построение, не входящих в школьный курс геометрии, принадлежит задача о произвольном делении отрезка. Школьников учат лишь дихотомии, т.е. делению отрезка пополам (этот же способ даёт возможность строить перпендикуляр к прямой) — и, как следствие, на $2^n$ равных частей (путём последовательного применения дихотомии).

Между тем, существует простой и изящный общий способ, который стоит рассмотреть.

Среднее арифметическое и среднее геометрическое

С тех пор, как в 1821 году маэстро Коши доказал так называемое неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим, оно кочует по всем более-менее продвинутым задачникам. Суть его очень проста: для любых положительных чисел $x_1,x_2,\ldots,x_n$ имеет место соотношение

$$\sqrt{\vphantom{b} x_1\cdot x_2\cdots x_n}\leqslant\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}n,$$

причём равенство возможно тогда и только тогда, когда все эти числа совпадают между собой.

Простейшим случаем, конечно, является $n=2$. Но даже и этот случай весьма любопытен — как изящным алгебраическим доказательством, так и чисто геометрической интерпретацией.

Геометрия на iPad

На сайте «Всё об iPad» опубликован мой обзор трёх геометрических программ для данного планшета: Dr.Geometry, GeometryPad и Isosceles. Это не совсем динамическая геометрия, к которой привыкли пользователи настольных компьютеров, но всё же интересные и полезные приложения. Обзор не претендует на полноту (успело уже появиться кое-что ещё!), так что будет продолжение. Читать здесь.

Красивая астрономия на iPad

На сайте «Всё об iPad» можно прочитать мой рассказ о замечательном бесплатном приложении, посвящённом старинным астрономическим инструментам: планетарной модели Солнечной Системы, теллурии и астролябии. Инструменты эти, по существу, были аналоговыми вычислительными устройствами и, следовательно, имеют к математике самое непосредственное отношение. Как и вся астрономия в целом.

Несмотря на старинность инструментов, приложение предоставляет массу полезной астрономической информации, причём исключительно красивыми способами. Читать здесь.